Femti-femti
Efter bloggforum igår hade jag ett kort men intressant samtal med bland andra Håkan och Mats om vår oförmåga att förstå det här med sannolikheter. (Något som de båda hävdar att trollkarlar och illussionister är duktiga på att utnyttja.)
Vad innebär att det till exempel att sannolikheten är femti-femti? Det är någorlunda enkelt om vi tänker oss en slantsingling. Vi vet att det finns två saker som kan inträffa, alltså är det femti-femti att gubben kommer upp.
Men redan här strider sannolikheten mot intuitionen. Om andra sidan kommer upp tio gånger i rad så tycker vi att chansen ökar att gubben ska komma upp. Det känns mer osannolikt att andra sidan ska komma upp en elfte gång. Tycker vi. Men myntet har inget minne, det är fortfarande femti-femti.
Det andra som vi lurar oss på är att vi förenklar vilka möjliga utfall som finns. Om jag köper en trisslott så är det två saker som kan hända. Antingen vinner jag eller så vinner jag inte. Femti-femti med andra ord. Även om jag egentligen vet att det inte stämmer så känns chansen att vinna mycket högre än vad den i själva verket är. Jag kan helt enkelt inte leva mig in i de flera hundra tusen övriga köparna av trisslotter och ge deras lotter en lika stor vinstchans.
Det kan verka galet att köpa lotter, men vi skulle nog bli galna av att kunna leva oss in i alla andra människor också. Så det handlar om vilken av dessa två typer av galenskap vi vill ha. Det är bara att välja, det är femti-femti.
För egen del ifrågasätter jag inte det där med slantsingling och 50/50 men jag undrar om jag inte läste någonstans att någon konstaterat att det går att förutse vilkensida som kommer upp beroende på vilken sida som ligger vänd uppåt när man utför “kastet”. Har du sett detta?
Comment by Jesper — 29 May 2005 @ 10:07
Det finns alltid mer än två alternativ, så fiftyx2 existerar egentligen inte. Myntet kan ställa sig på kanten, eller försvinna i gräset eller gatbrunnen och så vidare. Lotten kan flyga iväg, någon kan sno den…
Men detta är så liten chans/risk att det inträffar så vi räknar bort dem, det är som Harrisburg och Ignalina…
Comment by Günther Fliesenburgh — 29 May 2005 @ 10:15
Jesper: Det stämmer nog enbart om man utför kastet exakt likadant varje gång. Vilket de flesta inte gör. Det lär vara samma sak med roulette. En duktig croupier ska i princip kunna bestämma vilket nummer som ska komma upp innan kulan skickas iväg…
Günther: För att frasera Tage Danielsson, tala sannolikt barn. =)
Comment by H — 29 May 2005 @ 10:46
Ja, visst är det märkligt?
Själv har jag läst statistik, sannolikhet och matematik på SU och KTH, men jag köper ändå trisslotter nångång ibland…
Comment by David — 29 May 2005 @ 11:44
Hej, kul att se dig igår, hoppas du hade trevligt sen.
HUR ofta blir det 50/50 när man slänger myntet 100 gånger? Inte ofta är min gissning. Vet du?
Comment by Monica — 29 May 2005 @ 12:47
Stämmer säkert att man måste kasta det exact lika varje gång. Vilket ju inte förefaller särskilt lätt….
Comment by Jesper — 29 May 2005 @ 13:57
Feedback
Wow. Det var roligt. En stortack till moderatorerna, paneldeltagarna, alla som kom, och JMK (speciellt Mark Comerford, som arrangerade lokalen). Utan deltagare hade Bloggforum inte funkat:-) Härnedan några länkar till första reaktioner till Bloggfo…
Trackback by Bloggforum 2.0 - Stockholm, lördag 28 maj — 29 May 2005 @ 15:14
Jesper: Det där låter som något för trollkarlarna och illusionisterna att reda ut. Det finns säkert de som kan manipulera och lära sig att få myntet att snurra exakt ett visst antal varv. Vem vet, kanske några av dem rentav jobbar som fotbollsdomare?
Günther: Det är sant. (Eller sannolikt?) Det lustiga med osannolika händelser är att de är så himla många. Så det är rätt sannolikt att några av dem inträffar.
Monica: Tro det eller ej, men den som kan sin sannolikhetslära kan enkelt räkna ut hur stor chans det är att exakt 50 av 100 blir krona. Men femti procent betyder bara “femti av hundra” rent språkligt, inte matematiskt. Med andra ord, det betyder inte att femti kast av hundra blir krona, utan att varje enskillt kast har lika stor sannolikhet att bli krona som klave.
En anekdot från idrotten.
Kommentatorn: Hur stor chans tror du vårt lag har i procent?
Experten: Det går nog inte att bedöma i procent, utan det är snarare femti-femti.
Comment by hakke — 29 May 2005 @ 17:23
Hakke: Synnerligen trevligt att prata med dig, till och med i flera omgångar. Vi får ta ölen någon annan gång (jag glömmer den inte om du inte glömmer artikeln, och vice versa).
Angående myntsingligen: Statisikern/matematikern/skeptikern/etc Persi Diaconis - f.ö. en av mina husgudar - gjorde för ett tag sedan ett experiment med en maskin som kastade (ett osvenskt) mynt en massa gånger och kom fram till att det inte är exakt 50/50. Jag skrev en notis om detta i Diaconis om myntsingling.
Samme Diaconis kan - enligt uppgift - singla så att det alltid kommer upp krona eller klave. Hur han gör det: Genom träning, träning, och åter träning. (Har dock ingen tillförlitlig länk att stöjda detta på. Historien förtäljer inte om han även kan kasta så myntet kommer på högkant. Troligen. )
Jag nämnde igår också lagen om väldigt stora tal (som formuleras lite olika): “With a large enough sample, any outrageous thing is likely to happen”, och som jag - inte av en slump - skrev om i Littlewood’s Law of Miracles -The law of truly large numbers. (I kategorin Sammanträffanden finns hel del annat om liknande saker.)
Monica: (Kul att till slut i alla fall skaka hand med dig.) Chansen att det blir _exakt_ 50 krona på 100 singlingar är ungefär 8%.
Ska också försöka förtydliga Hakkes förklaring. Det man menar med 50% chans är (ungefär) att om man kastar ett mynt väldigt många gånger _tenderar_ det att bli lika många krona som klave, men det säger inget om de individuella kasten, eller heller något om de olika sekvenserna av kast. Det är t.ex. väldigt troligt att det _någon gång_ under 10 miljoner kast kommer upp 10 krona i rad (men man vet alltså inte när denna sekvens dyker upp). Hoppas att det förklarar mer än det förvirrar.
Det finns ett begrepp som heter Gamblers fallacy (”spelarens felslut”) som innebär att man tror att myntet på något sätt minns vad som hänt i föregående kast. En variant av detta felslut är att om det dykt upp 5 krona i rad så är det större chans att det nästa gång blir en klave (vilket är fel: myntet kommer inte ihåg de tidigare krona-kasten), och lika fel är att tro att det är större chans att nästa kast ska bli krona. (Detta förutsätter att myntet faktisk är konstruerat så att verkligen är ett mynt som har 50% chans att komma upp som krona eller klave. Det finns falska mynt/tärningar/roulettehjul och det finns - som sagt - personer som kan manipulera icka-falska mynt/etc. I sådana fall är all bets off.)
Detta hela blir sedan ännu mer ointuitivt när man använder “50% chans” för att förklara andra statistiska ointuitiva saker, såsom födelsedagsparadoxen, som ungefär kan förklaras på följande sätt: I ett rum med 23 personer finns det ungefär 50% chans att två personer har samma födelsedag. Det som vi inte riktigt har intuition kring i denna paradox är att även med 23 personer blir det många möjliga par som kan ha samma födelsedag: 23*22/2 = 253 par. Ser man det på detta vis kanske det är enklare att förstå att det inte krävs så många personer i ett rum. (Se mer om detta t.ex. Birthday paradox. En tyvärr rätt matematisk diskussion skrevs i Sammanträffanden - anteckningar vid läsning av Diaconis och Mosteller ‘Methods for Studying Coincidences’. Ja, det är samme Diaconis.)
Triss simulering som visar hur mycket man förlorar på att spela på Triss. Det finns lite liknande saker här.
Oj, det blev visst lite långt. Hoppas att du ursäktar, Hakke. Men det är ett mycket fascierande område. Vi kan väl låtsas som om vi pratade om allt detta igår, så det endast är en autentisk redogörelse.
Comment by Håkan Kjellerstrand — 29 May 2005 @ 23:32
Håkan: Ja, med ytterst stor sannolikhet tyckte jag också att det var riktigt skoj att få träffa dig på bloggforum.
Ingen fara att lämna en lång kommentar, den förgyller min blogg med sin nyfikna kunskap. Och visst är din redogörelse autentiskt! Det är möjligt (kanske rentav sannolikt) att vi inte hann prata om allt, med då fanns det åtminstone i våra baktankar.
(Jag ber för övrigt om ursäkt för att din kommentar fastnade över natten i modereringsträsket. Det följde med sådana funktioner i blogsome-kontot och jag har inte satt mig in i exakt vad de reagerar på. Möjligen antalet länkar?)
Så till själva ämnet. Det är lite lustigt att statistik och sannolikhet på flera områden strider mot det mänskliga “förnuftet” (eller ska vi säga intuitionen). Det känns som något jag vill ha lite koll på, inte främst för att kunna manipulera andra utan för att slippa gå i fällan själv. (Vare sig den är gillrad av Svenska Spel eller Diaconis…)
Jag ska följa upp dina länkar till tidigare inlägg senare. De kräver nog sin tid. Ska även tipsa min käre far vars intresse smittat av sig på mig. Jag ser också fram emot eventuella fördjupningar på hakank-bloggen.
Comment by hakke — 30 May 2005 @ 6:59
Min fascination av slumpen och statistik botade jag genom att gå en kurs i stokastiska processer på CTH. Det visade sig vara en oändlighet av datorsimuleringar och integralberäkningar. Efter detta är sannolikheten att jag skall jobba med statistik ungefär noll procent.
Comment by Ola — 30 May 2005 @ 8:15
Sorry, här kommer lite fler länkar…
Ola: Jag kan nog hålla med dig om integralberäkningar kan vara ett alldeles utmärkt sätt att bota nyfikenhet på statistik och sannolikhetsteori. Tyvärr eftersom det blir viktigare och viktigare att förstå detta i vårt informationstyngda samhälle.
Däremot ser jag själv simuleringar som en stimulering och ökning av intresset. Det finns en underbar (online-)bok som förklarar statistik utifrån just simuleringar, och som påverkade mig mycket för några år sedan: Resampling: The New Statistics skriven av Julian Simon. (Mer om liknande saker finns skrivet på sidan Lite om resampling, simulering, sannolikhetsproblem etc..)
Hakke: Det finns många som forskat kring vår dåliga intuition kring dessa frågor. En bra introduktion inom området är boken “Inevitable Illusions” av Massimo Piattelli-Palmarini. Mer om denna bok och några andra finns i Recension: Massimo Piattelli-Palmarini ‘Inevitable Illusions’. Se även kategorin Kognitiva illusioner.
Jag har lite fler boktips i ämnet. Säg bara till…
Comment by Håkan Kjellerstrand — 30 May 2005 @ 8:53
Ola: Har vi verkligen samma pappa?
Håkan: Vi har i alla fall samma namn, det kanske är därför min nyfikenhet triggas av din? Jag hoppas sommaren erbjuder lite lata dagar när jag hinner gräva ner mig i dina tips, länkar såväl som böcker. (Även om jag i likhet med min bror kanske undviker integralberäkningarna…)
Jag har också lagt 5 minuter på att lära mig blogsome, så nu ska det åtminstone vara tillåtet med upp till 4 länkar i en kommentar utan att “fastna i filtret”.
Comment by hakke — 30 May 2005 @ 10:03
Bloggforum 2.0 - lite tankar, mtestrajektorie samt kodat skvaller
S, hemkommen sndagkvllen frn en vldigt trevlig helg kring Bloggforum 2.0 tog det frst en massa timmar att g igenom vad som skrivits om evenemanget, och sedan skriva lite kommentarer hos andra. Det har redan (se lnkarna p Bloggforumsidan) skrivits…
Trackback by hakank.blogg — 30 May 2005 @ 12:05
Intressant! Men ändå var min intution rätt… Ja, alltså att om man kastar upp ett mynt 100 gånger så är chansen INTE stor att det blir 50/50. 8% ungefär. Kände det på mig
Comment by Monica — 30 May 2005 @ 14:27
Monica: Din intuition är något utöver det vanliga, det känner jag på mig! Kan det möjligen bero på att du ägnat dig åt enorma mängder spel och dobbel i dina dar?
Comment by hakke — 30 May 2005 @ 15:06
Erkännande: En gång fick vi vänta väldigt länge på en flygplats. Vi han testa det där med slantsingling ett par gånger…
Comment by Monica — 30 May 2005 @ 21:29
Ja, just flygplatser har en tendens att komma väldigt sent när man står och väntar på dem. Tur att ni hade så intressanta och viktiga saker att fylla tiden med. (För det var väl bara tiden ni fyllde?)
Comment by hakke — 30 May 2005 @ 21:44
men om man har tänkt spela flera gånger gör man ändå rätt i att hålla på klaven vid flera kronor… om min intuition är rätt
Comment by Magnus — 1 Jun 2005 @ 21:05
Magnus: Ja, eller på krona. Det är ju faktiskt precis lika stor chans att krona kommer upp efter fem krona som att den kommer upp efter, till exempel, fem klave. Tvärt emot vad intuitionen säger.
Comment by hakke — 1 Jun 2005 @ 21:17
Ja, fast de där tvistar de lärde om om jag mins rätt… jag är ingen mattematiker bara läst endel statistik… en del hävdar att om kronan leder kommer klaven att hämta igen… och andra att varje kast ofrtfarande är slump… trots att de för mig käns mer logiskt att varje kast är slump har jag för mig jag sett någon simulering som säger motsattsen?
Comment by Magnus — 2 Jun 2005 @ 5:47
Magnus: Tyvärr, det är nog en historia som sprids av folk som önskar att det vore så. Men för att det skulle vara mer sannolikt att det jämnar ut sig så skulle materien (pengen) behöva ha ett minne. Men hur vi än letar så finns där bara kungen och riksvapnet.
Sedan kan man ju alltid ta upp den gamla tvisten om vilken sida som egentligen ska kallas krona. Jag hör till den gruppen som lärt sig att Krona är sidan med kungens porträtt, även om han idag inte avbildas med denna huvudbonad. Att det råkar ingå en kungakrona i vårt riksvapen färändrar inte det faktum att den sidan är Klave. Eller…?
Comment by hakke — 2 Jun 2005 @ 7:05